Teorema 6.19

Enunciado

El grupo fundamental de la circunferencia ${\mathbb{S}}^1$ es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$^[1].

Demostración

Sea $p:\mathbb{R}\to {\mathbb{S}}^1$ definido como $p(t)=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$. Sea $e=0$ y $b=p(0)=(1,0)$. Entonces $p^{-1}(b)=\mathbb{Z}$, así como

es biyectiva por la proposición 6.18.

Veamos que además $\mathrm{\Phi }$ es un homeomorfismo al considerar el grupo $(\mathbb{Z},+)$. Dados $[\alpha ]$ y $[\beta ]$ en ${\pi }_1({\mathbb{S}}^1,b)$, queremos ver que $\mathrm{\Phi }([\alpha ])+\mathrm{\Phi }([\beta ])=\mathrm{\Phi }([\alpha \ast \beta ])$. Teniendo $\tilde{\alpha }$ y $\tilde{\beta }$ los levantamientos en $\mathbb{R}$, definamos $n=\tilde{\alpha }(1)$ a la vez que $m=\tilde{\beta }(1)$, con $n,m\in \mathbb{Z}$.

Consideramos el camino en $\mathbb{R}$ dado por $\widetilde{\stackrel{~}{\beta }}(s)=n+\tilde{\beta }(s)$, con $\widetilde{\stackrel{~}{\beta }}:[0,1]\to \mathbb{R}$.

Como $p(x+n)=p(x)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, el camino $\widetilde{\stackrel{~}{\beta }}$ es también un levantamiento de $\beta$ pero comenzando en $n$. Entonces $\tilde{\alpha }\ast \tilde{\beta }$ está bien definido en un levantamiento de $\alpha \ast \beta$ que comience en $0$. El punto final del camino $\tilde{\alpha }\ast \widetilde{\stackrel{~}{\beta }}$ es

Luego